Физтех Since 25.01.2008
[ Новые сообщения · Участники · Правила форума · Поиск · RSS ]
Страница 1 из 11
Форум » Необычные задачки - Смотри в корень! » Еженедельная головоломка » Две трамвайные остановки (Маковецкий П. В. - Смотри в корень! - 6-е изд. 1991 г.)
Две трамвайные остановки
ATOMOHODДата: Суббота, 26.09.2009, 11:45 | Сообщение # 1
Админ
Группа: Модераторы

Пол: Мужчина
Факультет: ФЭФ
Группа: НО-32

Сообщений: 165
Репутация: 12
Статус: Offline
На рис. схематически показана улица и две трамвайные остановки A и B. Все жители этой улицы работают на заводе, к которому трамваем надо ехать направо. Естественно, каждый пользуется той трамвайной остановкой, с которой он быстрее попадет на работу. Сегодня туман, и спешащие на трамвай не видят, какие номера трамваев подходят к остановкам в данную минуту. Покажите, где живут те, кто пойдет на остановку A. Иными словами, вам надо найти на улице такую точку C, чтобы жителям, живущим левее нее, было выгодно идти на остановку A, а правее – на остановку B.


 
ChargerДата: Суббота, 26.09.2009, 12:18 | Сообщение # 2
Генерал-майор
Группа: Студенты

Пол: Мужчина
Факультет: ФТФ
Группа: ТЯ-32

Сообщений: 301
Репутация: 16
Статус: Offline
Для начала забьем на то, что трамваи ходят с неведомой нам частотой.
Если народ, как сказано в условии задачи, любит приходить на работу пораньше, все они дружно будут вставать на первый трамвай. А если достаточно долго живут на улице, то знают, во сколько надо выходить, чтобы попасть именно на этот трамвай, и не опоздать и не ждать следующего.
И, например, вот есть человек, живущий так, что ему можно в одно и то же время выйти, и он дойдет до остановки А точно в тот момент, когда там будет трамвай. Но! Так вот вышло, что он может направиться на остановку В, и именно там его трамвай и догонит. То есть ему, в общем-то, при выходе по-барабану куда идти - и так и так он попадет на один трамвай, просто в одном случае дольше пройдет пешком, в другом - проедет лишнюю остановку на транспорте.
Нехитрыми размышлениями получим, что разница во времени "добирательства" из С до В и из С до А равна времени, которое тратит трамвай, чтобы проехать одну остановку.
Эти времена:
t1=AC/v
t2=BC/v
t3=AB/V
где v - скорость пешехода, V - скорость трамвая
поскольку t2-t1=t3, а AC+BC=AB, получим:
BC/AB=(v+V)/2V
Поскольку я - не Паша, и не знаю, с какой скоростью ездят трамваи, то предположу, что это, скажем 40 км/ч, а человек ходит со скоростью около 4 км/ч. Тогда получим:
BC/AB=0,55

PS Расчеты произведены без учета релятивистских эффектов wink

Добавлено (26.09.2009, 12:18)
---------------------------------------------
АЛСО
Как мы видим, если бы трамвай двигался со скоростью, МНООООООГО превышающую скорость ходьбы - точка С лежала бы посередине отрезка. Так, в общем-то, и должно быть - ведь при таких условиях времена прохождения трамваем любого отрезка (в т.ч. отрезка AB) несопостовимы с временем прохождения любого отрезка человеком. То есть, с этой позиции, трамвай одновременно приходит на обе остановки ( wacko Эйнштейн курит в уголке), а значит, человек должен попасть на обе остановки одновременно - то есть пройти до них одно расстояние, то есть половину расстояния между остановками...




Сообщение отредактировал Charger - Суббота, 26.09.2009, 12:14
 
ATOMOHODДата: Суббота, 26.09.2009, 13:23 | Сообщение # 3
Админ
Группа: Модераторы

Пол: Мужчина
Факультет: ФЭФ
Группа: НО-32

Сообщений: 165
Репутация: 12
Статус: Offline
Charger, ТЫ ПРАВ! =)))

 
ATOMOHODДата: Пятница, 02.10.2009, 17:54 | Сообщение # 4
Админ
Группа: Модераторы

Пол: Мужчина
Факультет: ФЭФ
Группа: НО-32

Сообщений: 165
Репутация: 12
Статус: Offline
ПОДСКАЗКА:

– Каждый пойдет к той остановке, которая ближе. Значит, точку C надо поставить на полпути между A и B.

На это мы возразим, что если бы задача решалась так просто, то мы не включали бы ее в книгу.

В самом деле, допустим, что двое живущих точно посредине между остановками вышли из дому и любопытства ради пошли на разные остановки. Если они идут с одинаковой скоростью, то, конечно, придут на свои остановки одновременно. Допустим, что тот, кто пришел на остановку A, чуть-чуть опоздал: двери вагона трамвая только что захлопнулись. Ему ничего не остается, кроме ожидания следующего трамвая. А тот, кто пошел на остановку B, разумеется, попадает в трамвай, на который опоздал его товарищ, потому что у него в запасе есть то время, которое трамвай должен затратить на преодоление пути AB. Таким образом, средняя между A и B точка не является нейтральной: с нее выгодно идти к B. Нейтральная точка где-то левее. Насколько левее – это зависит от скорости трамвая и скорости пешехода. Найдите эту зависимость. И еще подумайте, почему в условиях задачи упоминается туман.


 
ATOMOHODДата: Пятница, 09.10.2009, 00:13 | Сообщение # 5
Админ
Группа: Модераторы

Пол: Мужчина
Факультет: ФЭФ
Группа: НО-32

Сообщений: 165
Репутация: 12
Статус: Offline
ОТВЕТ:

Обозначим длину пути AB через l, скорость трамвая – vт и пешехода – vп. Нанесем на отрезке AB искомую точку C (рис. 43). Расстояние AC обозначим через l1, BC – через l2. Точка C нейтральна, т.е., очевидно, такова, что, на какую из остановок ни пойдешь, застигнешь трамвай относительно остановки в одинаковом положении: или он стоит, или подходит, или отошел. Трамвай на остановку A попадет на время t раньше, чем на остановку B, причем, если не принимать во внимание время стоянки трамвая,

t = l/νт = (l1 + l2)/νт.

Следовательно, пешеход, отправившийся из C в A, должен попасть туда на время t раньше, чем идущий из C в B. У пешехода, идущего к B, есть в запасе время t. Иными словами, если обозначить время движения пешехода из C в A через t1, а из C в B – через t2, то должно выполняться равенство t2 = t1 + t. Поскольку t1 = l1/vп, t2 = l2/vп, то после подстановки в формулу значений t, t1 и t2 имеем

t2/vп = l1/vп + (l1 + l2)/vт, или (l2 – l1)/vп = (l1 +l2)/vт.

После очевидных преобразований

l2vт – l1vт = l1vп + l2vп, l2(νт – νп) = l1(νт + νп)

получаем окончательную формулу:

l2/l1 = (νт + νп)/(νт – νп).

Если, например, νт = 10 м/с и νп = 2 м/с, то

l2/l1 = (10 + 2)/(10 – 2) = 12/8 = 1,5,

т.е. нейтральная точка C в 1,5 раза ближе к A, чем к B.

Чем меньше скорость пешехода, тем ближе это отношение к единице, т.е. тем ближе нейтральная точка C к средней C0. Для черепахи точка C практически совпадает с C0. Наоборот, с увеличением скорости пешехода точка C все больше приближается к первой остановке A. Человек, опаздывающий на работу, способен бежать 500 метров, допустим, со скоростью 5 м/с. Для него l2/l1 = 3, и если l = 500 м, то l1 = 125 м, l2 = 375 м. Если ваша скорость равна скорости трамвая, то вам почти с любой точки между остановками выгоднее бежать к B. Если же ваша скорость еще больше, то вам трамвай не нужен.

Еще проще решение, подсказанное автору рецензентом Г.М. Ховановым. Задача легко решается с помощью понятия относительного движения. Из всего множества жителей улицы имеется такой, который живет именно в нейтральной точке C. Допустим, что он пошел на остановку A и пришел туда вместе с трамваем. Если бы он пошел в B, то и туда он пришел бы вместе с этим же трамваем (точку C мы назвали нейтральной потому, что она обладает именно этим свойством).

Сравним эти два случая. И в том и в другом начальное расстояние между трамваем и пешеходом равно некоторому xн, конечное же xк = 0. Таким образом, до встречи трамвай в обоих случаях должен преодолеть одно и то же относительное расстояние x = xн – xк = xн – 0 = xн (не относительно земли, а относительно пешехода, – тут от вас требуется некоторое усилие воображения). В первом случае относительная скорость сближения трамвая и пешехода равна (νт + νп), во втором – (νт – νп). Разделив относительное расстояние x на относительную скорость, мы получим время от старта пешехода до встречи с трамваем:

t1 = x/(νт + νп), t2 = x/(νт – νп).

Поскольку скорость пешехода относительно земли в обоих случаях предполагается одинаковой, то пройденные пешеходом в первом и втором случаях расстояния по земле l1 и l2 относятся так, как затраченные на них времена t1 и t2:

l2/l1 = t2/t1 = (νт + νп)/(νт – νп),

что и дает окончательную формулу.

Что касается упоминавшегося в разделе A тумана, то он был напущен в задачу для ее упрощения. В отсутствие тумана задача имеет два решения. Рассмотренное решение в отсутствие тумана верно только для экстренного случая, т.е. когда видишь, что трамвай уже подходит к A и тебе к A не успеть. Тогда надо быстро прикинуть, где при той скорости, на которую ты способен, находится нейтральная точка C, и если она левее тебя, то беги вправо. Если же правее – бежать бесполезно, уже опоздал. А если трамвай еще далеко, то спешить некуда. И тогда, разумеется, нейтральной точкой является C0, так как на первый план выступает простое соображение экономии подметок.


 
Форум » Необычные задачки - Смотри в корень! » Еженедельная головоломка » Две трамвайные остановки (Маковецкий П. В. - Смотри в корень! - 6-е изд. 1991 г.)
Страница 1 из 11
Поиск:
(C) Шишков Александр © 2008-2017